$A^{n}$问题

可选方案：

  1. 对应行列成比例？
  2. 可以写成E+B？
  3. 可以找到规律递推？
  4. 对角化

Type1：对应行列成比例

$$
已知 A = \left[
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -1 \
-2 & -4 & 2 \
3 & 6 & -3
\end{array}
\right]，求A^{n}
$$

观察发现，$A$可以写成两个向量相乘的形式：

$$
A = \left[
\begin{array}{ccc}
1 \
-2 \
3
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -1
\end{array}
\right] = \alpha^{T}\beta
$$

很容易发现 $\beta\alpha^{T} = [6]$

Type2：寻找规律递推

$$
已知 A = \left[
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \
1 & 0 & -1 \
0 & -1 & 0
\end{array}
\right]，求A^{n}
$$

Type3：幂0，二项展开

$$
已知 A = \left[
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0 \
0 & 1 & 1 \
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]，求A^{n}
$$