$$
已知 A = \left[
\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 1 \
0 & 2 & -1 \
1 & 1 & 1
\end{array}
\right]，求对角化。
$$

对角化算法

  1. 求固有值：解 $det(A-\lambda E)$ $\lambda$的解即为固有值。
  2. 求固有向量：对每一个$\lambda$代入行列，乘以一个向量后为0向量，这个向量即为固有向量
  3. 对角化：将三个$\lambda$分别填在对角线上，即为$P^{-1}AP$ P为三个固有向量组成的矩阵

预备知识

内积

对应位置相乘再相加。

绝对值

自己内积自己开根号。

直交

内积为0。

结论

对称行列不同的固有值的固有向量直交。

证明

$$

A\vec u_i = \lambda _i \vec u_i\newline
A\vec u_i = \lambda _i \vec u_i

$$